Descontos em Casos de Capitalização Simples e Composta - Problema 3

Questão 03 (Valor: 0,4 pontos) – Uma pessoa deve a outra a importância de R$12.400,00. Para liquidação dessa dívida, propõe os seguintes pagamentos: R$ 3.500,00 ao final de dois meses; R$ 4.000,00 ao final de cinco meses; R$ 1.700,00 ao final de sete meses e o restante em um ano. Sendo de 3 % ao mês a taxa de juros cobrada no empréstimo, pede-se calcular o valor do último pagamento.



Solução:
Como o problema não explicita a forma de capitalização, assumiremos que se trata de capitalização composta.
Vamos calcular o valor atual de cada uma das prestações. Nas expressões abaixo, i é a taxa de juros e n o número de intervalos de tempo em meses e o símbolo ^ deve ser entendido como potenciação. A primeira prestação, no valor de R$3500,00 deve ser paga ao final de 2 meses.

N = A. (1+i)^n ou 3500=A.(1+0,03)^2  => A = N/((1+0,03)^2) = 3299,08
Assim, o pagamento da primeira prestação equivale a um desconto de R$3299,08 do valor inicialmente emprestado.

A segunda prestação, no valor de R$4000,00 deve ser paga ao final de 5 meses.

N = A. (1+i)^n ou 4000=A.(1+0,03)^5  => A = 4000/((1+0,03)^5) = 3450,43
Assim, o pagamento da segunda prestação equivale a um desconto de R$3450,43 do valor inicialmente emprestado.

A terceira prestação, no valor de R$1700,00 deve ser paga ao final de 7 meses.

N = A. (1+i)^n ou 1700=A.(1+0,03)^7  => A = 1700/((1+0,03)^7) = 1382,25

Assim, o pagamento da terceira prestação equivale a um desconto de R$1382,25 do valor inicialmente emprestado.  Podemos calcular agora qual o valor efetivamente devido após o pagamento das 3 prestações pela ocasião da tomada do empréstimo:
V = 12400-(3299,08+3450,43+1382,25)=12400,00-8131,76= R$4268,24
Como a dívida só será efetivamente quitada em 12 meses, devemos calcular o montante ao final deste período. Assim,

M = C.(1+i)^n ou M=4268,24.(1+0,03)^12  = 6085,49
Concluímos que a prestação a ser paga ao final de um ano será de R$6085,49.



Solução alternativa:



Ao final de 2 meses, o valor principal acrescido dos juros torna-se:

M1 = C.(1+i)^n => M = 12400. (1.03)^2=13155,16
Neste momento, o devedor pagará R$3500,00. Sua dívida passará a valer:

D=13155,16-3500,00=R$9655,16

Como o próximo pagamento só acontecerá no quinto mês, ou seja, três meses depois, o valor D será acrescido de juros no período.

M2 = D.(1+i)^n = 9655,16 . 1,03^3 = 10550,39
Neste momento, o devedor pagará R$4000,00. Sua dívida passará a valer R$6550,39.

Como o próximo pagamento só acontecerá no sétimo mês, ou seja, dois meses depois, o valor da dívida será acrescido de juros no período.

M3 = 6550,39.(1+0,03)^2 = 6949,31

Neste momento, o devedor pagará R$1700,00. Sua dívida passará a valer R$5249,31.
Como a quitação só ocorrerá ao final de um ano, isto é, haverá juros sobre o valor de 5249,31 por mais 5 meses.

M4 = 5249,31.(1+0,03)^5 = 6085,39

Que é o valor da prestação final.