Matemática Financeira - Amortização - Tarefa 03 - Problema 3

Questão 03 (Valor: 0,4 pontos) – Um imóvel no valor de R$ 500.000,00 foi financiado por um banco em 180 meses. A taxa de juros cobrada neste tipo de financiamento é de 1 % ao mês e a amortização pode ser efetuada tanto pelo SAC - Sistema de Amortização Constante como pelo SAF - Sistema de Amortização Francês. Determinar em que momento os valores das prestações apuradas pelos dois sistemas tornam-se iguais.

Solução:

a)      Como vimos na questão 1, no sistema de amortização francês a prestação (P) é fixa. O primeiro passo deve ser o seu cálculo. Cada uma das parcelas (P) deve ser atualizada para a data 0 (data da tomada do empréstimo) e a soma de seus valores atualizados deve igualar o valor financiado (V). Assim, a 1ª parcela, de valor P, deve ser atualizada em um mês, a 2ª parcela em 2 meses e assim sucessivamente até a 180ª parcela que é atualizada em 180 meses. Matematicamente,

P/(1+i) + P/(1+i)²+...+ P/(1+i)^m=V

Neste caso, a taxa de juros i=0,01; V=500000 e m=180 é o número total de parcelas. O lado esquerdo corresponde a soma dos primeiros 180 termos de uma PG de razão 1/(1+i) e termo inicial P/(1+i). Como sabemos, a soma dos primeiros m termos de uma PG de razão q e termo inicial a₁ vale:

S_m=N/D, onde N = a₁. (q^m -1) e D = q-1

Substituindo valores, temos:

N = P/(1+i) * (1/(1+i)^m-1) =

N = P/(1+0,01) * (1/(1+0,01)¹⁸⁰-1) = P * (-0,82496697018879206088086157797566)

D = 1/(1+i) -1 = -0,0099009900990099009900990099009901

Temos, então: S_m = P * 83,321663989067998148967019375542

P = 500000/83,321663989067998148967019375542=6000,8403104575683627930842026838

Como os pagamentos só podem ser realizados até a casa dos centavos, temos P = R$6000,84

b)  No sistema de amortização constante, as prestações variam enquanto a amortização é fixa. Assim, a amortização mensal pode ser calculada pela razão entre o valor financiado e o número de prestações mensais. Neste caso,

 
A = 500000/180 =2777,7777777777777777777777777778

A observação da tabela acima nos permite obter a expressão para os termos gerais. Assim, após n períodos, o valor do saldo devedor é:

S_d(n) = x- n*x/m, onde x é o saldo devedor inicial ou valor financiado.

Da mesma forma, a prestação a ser paga ao final de n períodos é:

P(n) = x/m + i * ( x - (n-1)* x/m) = A + i *  (x – (n-1) * A)

Para obter a solução da questão, devemos igualar P(n) com a prestação calculada no caso de aplicação do sistema de amortização francês e determinar n.

6000,84 = 500000/180 + 0,01 * (500000 – (n-1) * 500000/180)

6000,84 = 2777,78 + 0,01 * (500000 – (n-1) * 2777,78)

6000,84 = 2777,78 + 5000 – (n-1) *27,7778

6000,84 – 7777,78 = - (n-1) * 27,7778

1777,78 = (n-1) * 27,7778

1777,78 / 27,7778 = n-1 = 64

Logo n =65.

A prestação de número 65, no caso de aplicação de sistema amortização constante, será igual a prestação fixa, no caso de aplicação de sistema de amortização francês.

Matemática Financeira - Amortização - Tarefa 03 - Problema 2

Questão 02 (Valor: 0,3 pontos) – Um empréstimo de R$ 200.000,00 foi contratado à taxa de 10% ao ano para ser quitado em 5 prestações anuais pelo Sistema de Amortização Francês. Calcular a planilha respectiva, considerando-se o IOF de 1 % sobre o principal mais encargos descontados no ato.

Solução:

O primeiro passo é calcular o valor da prestação.

P/(1+i) + P/(1+i)²+...+ P/(1+i)^m=V

Taxa de juros é i=0,1; IOF é 0,01, são m=5 prestações e o valor financiado é V = 200000. Substituindo esses valores, temos:

 

P/(1+0,1) + P/(1+0,1)²+...+ P/(1+0,1)⁵=200000= P* {1/(1+0,1) + 1/(1+0,1)²+...+ 1/(1+0,1)⁵}

A expressão matemática do lado esquerdo da igualdade é a soma dos 5 primeiros termos de uma PG de razão (1/(1,1)), termo inicial, a₁=(1/(1,1)). Logo,

S₅ = N/D, onde N== a₁. (q^m -1) e D = q-1

Substituindo os valores, temos:

N = (1/(1,1))*( 1/(1,1)⁵ -1 ) = -0,34461697903713165959286753320941

e

D = (1/(1,1) -1 ) =

Obtemos, então, S₅ = 3,7907867694084482555215428653035

Finalmente, cada prestação P pode ser obtida através de:

P = V/ S₅ = 200000/3,7907867694 = 52759,496158949075363220913662348

Arredondando, temos:                                         P = R$52759,50

Conforme o enunciado, o IOF é calculado como sendo 1% do principal somado aos encargos. Assim, O IOF a ser pago no ato será:

IOF = 0,01 * 5 * 52759,50 = R$ 2637,97

Agora podemos construir a planilha, lembrando que cada parcela paga pode ser dividida em duas partes. Uma delas corresponde aos juros e a outra a amortização. A amortização deve ser subtraída do saldo devedor após cada pagamento. O novo saldo devedor deve ser utilizado para o cálculo dos juros do próximo período. O procedimento deve ser sistematicamente repetido até a quitação.

Note que como consequência de arredondamentos, ao final do período há uma saldo credor de R$0,02!!

Normalmente, é feito um ajuste na última parcela para corrigir este tipo de erro.