Matemática Financeira - Amortização - Tarefa 03 - problema - 1

Questão 01 (Valor: 0,3 pontos) – Um financiamento no valor de R$ 900.000,00 é amortizado em 30 parcelas mensais pelo Sistema Francês de Amortização sem carência. A taxa de juros contratada é de 2,8 % ao mês. Determinar:

a) o valor de cada prestação mensal;

b) o valor da amortização referente ao 19 º mês.

Solução:

a)      No sistema francês, as parcelas são fixas. Cada uma das parcelas (P) deve ser atualizada para a data 0 (data da tomada do empréstimo) e a soma de seus valores atualizados deve igualar o valor financiado (V). Assim, a 1ª parcela, de valor P, deve ser atualizada em um mês, a 2ª parcela em 2 meses e assim sucessivamente até a 30ª parcela que é atualizada em 30 meses. Matematicamente,

P/(1+i) + P/(1+i)²+...+ P/(1+i)^m=V

Em nosso caso, a taxa de juros é igual a i=0,028; o valor financiado é V=900000 e m=30 é o número total de parcelas. Podemos resolver o problema usando o fato que o lado esquerdo da equação acima é a soma dos 30 primeiros termos de uma progressão geométrica (PG) cujo termo inicial é P/(1+i) e a razão é 1/(1+i). A soma dos primeiros m termos de uma PG de razão q e termo inicial a₁ vale:

S_m=N/D, onde N = a₁. (q^m -1) e D = q-1

Aplicando a relação acima temos:

N = ( P/(1+i) ) * ( (1/(1+i)^m-1) = ( P/(1,028) ) * ( (1/(1,028)^m-1) =

N =  P * (-0,54793434010889198331150695408722)

D = (1/(1+i)) -1 = (1/1,028) -1= -0,027237354085603112840466926070039

Logo, S_m=P * 20,117017915426462815865326742917

Como esta soma deve ser igual ao valor financiado V, temos:

P = V/20,117017915426462815865326742917=

P = 900000/20,117017915426462815865326742917= 44738,241213666523877286986111569

Arredondando até a casa dos centavos, temos:

P = R$ 44738,24

Alternativamente podemos usar a fórmula:

P = V/ FVP( i ; m), onde V é o valor financiado e  FVP ( i ; m) = (1- (1+i)^-m) / i

Substituindo os valores de i=0,028; m=30 e V= 900000, temos:

P = V/ FVP(2,8 ; 30)

Logo,

FVP(2,8;30) = (0.56327650163194095884422914880167) / 0,028

FVP(2,8;30) = 20.117017915426462815865326742917

Finalmente P = 44738,241213666523877286986111569. Arredondando até a casa dos centavos, temos que cada parcela será de R$ 44738,24.

b)

Para a solução do item b, construímos uma planilha com as informações do saldo devedor a cada período, o valor amortizado, os juros pagos e a prestação. Para tanto, devemos lembrar que cada parcela paga pode ser dividida em duas partes. Uma delas é juros e a outra a amortização. Neste caso, as parcelas são fixas, P = R$ 44738,24. Os juros são calculados pelo produto da taxa de juros pelo valor do saldo devedor. Logo, à medida que o saldo devedor diminui, também diminuem os juros pagos mensalmente. Finalmente, a amortização cresce na exata medida do decréscimo dos juros. No tempo zero (na tomada do empréstimo) há um saldo devedor de R$900000,00 e nenhuma prestação foi paga ainda. Com o pagamento da 1ª parcela, o valor de R$25200,00 (R$900000,00 * 0,028)

corresponde aos juros enquanto o restante R$ 19538,24 (R$44738,24 - R$25200,00) é a amortização da dívida. Este valor deve ser abatido do saldo devedor original para se determinar o saldo devedor atualizado e, a partir desse, calcular os juros do próximo período. Este procedimento é repetido tantas vezes quantas sejam necessárias até que uma tabela como a apresentada a seguir seja construída.

A tabela não está completa, pois não foi calculada até a última prestação (só vai até a 20ª parcela). Eu fiz esta tabela usando uma planilha eletrônica, deixei um excesso de casas depois da vírgula propositalmente para diminuir os erros de arredondamento. É claro que na vida real, os pagamentos devem ser efetuados até os centavos e na última parcela é feito um pequeno ajuste.

A amortização pedida após o pagamento da 19ª parcela está marcada na tabela e seu valor é: R$32118,96.

Quando não é possível construir a planilha, podemos obter a amortização na k-ésima parcela através da relação:

A_k = A₁ * (1+i)^k-1

Então: A₁₉ = 19538,24 * (1+0,028)¹⁸ = 19538,24 * 1,6439025300629980714629824362033

                   

A₁₉=32118,962168978071439780901954325

Ou R$ 32118,96

Sermão da Montanha! (versão para educadores)!

Nem o Senhor Jesus aguentaria ser um professor nos dias de hoje....             O Sermão da montanha (*versão para educadores*)   Naquele tempo, Jesus subiu a um monte seguido pela multidão e, sentado sobre uma grande pedra, deixou que os seus discípulos e seguidores se aproximassem. Ele os preparava para serem os educadores capazes de transmitir a lição da Boa Nova a todos os homens. Tomando a palavra, disse-lhes: - Em verdade, em verdade vos digo: - Felizes os pobres de espírito, porque deles é o reino dos céus. - Felizes os que têm fome e sede de justiça, porque serão saciados. - Felizes os misericordiosos, porque eles...? Pedro o interrompeu: - Mestre, vamos ter que saber isso de cor? André perguntou: - É pra copiar? Filipe lamentou-se: - Esqueci meu papiro! Bartolomeu quis saber: - Vai cair na prova? João levantou a mão: - Posso ir ao banheiro? Judas Iscariotes resmungou: - O que é que a gente vai ganhar com isso? Judas Tadeu defendeu-se: - Foi o outro Judas que perguntou! Tomé questionou: - Tem uma fórmula pra provar que isso tá certo? Tiago Maior indagou: - Vai valer nota? Tiago Menor reclamou: - Não ouvi nada, com esse grandão na minha frente. Simão Zelote gritou, nervoso: - Mas porque é que não dá logo a resposta e pronto!? Mateus queixou-se: - Eu não entendi nada, ninguém entendeu nada! Um dos fariseus, que nunca tinha estado diante de uma multidão nem ensinado nada a ninguém, tomou a palavra e dirigiu-se a Jesus, dizendo: - Isso que o senhor está fazendo é uma aula? - Onde está o seu plano de curso e a avaliação diagnóstica? - Quais são os objetivos gerais e específicos? - Quais são as suas estratégias para recuperação dos conhecimentos prévios? Caifás emendou: - Fez uma programação que inclua os temas transversais e atividades integradoras com outras disciplinas? - E os espaços para incluir os parâmetros curriculares gerais? - Elaborou os conteúdos conceituais, processuais e atitudinais? Pilatos, sentado lá no fundão, disse a Jesus: - Quero ver as avaliações da primeira, segunda e terceira etapas e reservo-me o direito de, ao final, aumentar as notas dos seus discípulos para que se cumpram as promessas do Imperador de um ensino de qualidade. - Nem pensar em números e estatísticas que coloquem em dúvida a eficácia do nosso projeto. - E vê lá se não vai reprovar alguém! E, foi nesse momento que Jesus disse: "Senhor, por que me abandonastes..."

Logística - VMI - Vendor Managed Inventory

Vendor Managed Inventory (VMI)

VMI é um meio de otimizar o desempenho da cadeia de suprimentos na qual o produtor é responsável por manter os níveis de estoque do distribuidor. O produtor tem acesso aos dados de estoque do distribuidor e é responsável por gerar as ordens de compra. Para tentar tornar o entendimento mais claro passemos a um exemplo. 

Em um modelo típico de negócio, quando o distribuidor precisa de um produto, ele faz um pedido de compra junto ao fornecedor/produtor. Fica, então, sob a responsabilidade do distribuidor decidir o momento e o tamanho do pedido. Também é responsabilidade do distribuidor gerir seus estoques.

Em um modelo VMI, o produtor recebe os dados (por exemplo, via EDI) que lhe informam sobre as vendas e níveis de estoque do distribuidor. O produtor fica responsável por gerar e manter os níveis de estoque do distribuidor. Assim, sob VMI, é o produtor que gera o pedido de compra, não o distribuidor. Deve-se ressaltar que a propriedade do estoque não muda, ela continua sendo do distribuidor. 

É também possível haver estoque consignado, isto é, quando o produtor coloca o produto no estoque do distribuidor mas retém a propriedade do produto. O pagamento só é realizado quando o item for, de fato, vendido.

Alguns benefícios do VMI são:

i)         Aumento da velocidade de processamento e redução de erros nos pedidos.

ii)       Benefício recíproco. É do interesse de ambas as empresas que o consumidor final encontre nas prateleiras o produto que deseja.

iii)      Promoções podem ser facilmente incorporadas nos planos de estoque.

iv)     O produtor pode ver a necessidade potencial de determinado item com tempo para se preparar para atendê-la.

Apesar de suas óbvias qualidades, existem potenciais dificuldades na implantação de sistemas VMI. Deve ser considerada a necessidade de vender a idéia a todos os funcionários. Não basta uma decisão "de cima para baixo" para que o sistema entre em funcionamento satisfatório. Erros podem acontecer, principalmente nas fases de implantação. Por isso, deve existir um forum de negociação (que envolva todos os parceiros) para equacionar estas falhas.

Bibliografia Consultada

http://unpan1.un.org/intradoc/groups/public/documents/EROPA/UNPAN001421.pdf (visitado em 13 de setembro de 2011)

http://www.vendormanagedinventory.com/  (visitado em 13 de setembro de 2011)

Logística - EDI - ELECTRONIC DATA INTERCHANGE

ELECTRONIC DATA INTERCHANGE (EDI)

ELECTRONIC DATA INTERCHANGE (EDI) é um sistema de troca direta (computador-computador) de documentos padronizados de transações entre organizações. A primeira geração de EDI´s enviava os documentos para uma caixa de correio eletrônica similar aos conhecidos “e-mails”. Nesta situação, os documentos aguardavam até que um funcionário tomasse conhecimento e os encaminhasse até o próximo elemento na cadeia. A segunda geração de EDI´s procurou reduzir os atrasos característicos de um sistema passivo (1ª geração) pela introdução de endereçamento imediato de mensagens. Os sistemas de EDI mais avançados (3ª geração) são interativos.

É consenso que este sistema permite, em geral, uma acentuada melhoria na performance administrativa e, em particular no serviço público. EDI pode produzir sensíveis economias de dinheiro e tempo, pois como as transações são transmitidas via rede entre os agentes do processo, existe a possibilidade de eliminação (ou pelo menos redução) da papelada gerada pela burocracia usual. 

Governos, que desejem melhorar seu desempenho administrativo e a qualidade de serviços públicos prestados, podem alcançar estes objetivos através da implementação de EDI. Por exemplo, um elemento chave nos trabalhos desenvolvidos pelos armazéns alfandegários é a troca de informações entre a Receita Federal, importadores e exportadores.

Se esta comunicação é realizada através de inúmeras guias e carimbos, o tempo que decorre desde a entrada do produto no país até sua liberação torna-se muito longo. Esta demora causa uma série de efeitos indesejáveis. Por exemplo,

i)                    Os produtos passam longos períodos nos pátios.

ii)                  Os produtos importados/exportados correm risco de perda, extravio, furto ou dano.

iii)                Erros nos preenchimentos das guias.

iv)                Funcionários podem aproveitar-se da demora para “vender vantagens”.

Por outro lado, se há comunicação direta entre os envolvidos, as liberações são muito mais rápidas.  EDI reduz os custos rotineiros de processamento de transações. Ocorre um natural desafogamento do espaço disponível nos armazéns e, também, evitam-se perdas de produtos e receitas devido aos atrasos na liberação de produtos de importação e exportação. Finalmente, ainda que de forma indireta, combate-se a corrupção. 

Matemática Financeira - Tarefa 02 - Anuidades e equivalência - Parte 3

Uma bicicleta foi vendida em 4 prestações trimestrais de R$1.000,00, sendo a primeira na compra. Se a taxa de mercado é de 3 % ao mês, qual é o preço à vista?

Solução:

A forma de compra é: 1000 + 3 X 1000 (trimestrais) com juros de 3% am.

Para determinar o valor da bicicleta para compra à vista, devemos atualizar os valores de cada prestação. A entrada não precisa ser atualizada, pois já é paga na data da compra. A primeira parcela deve ser corrigida pelo valor do juro de 3% e assim sucessivamente. Então:

A = 1000+ (1000/1,03³) + (1000/1,03⁶) + (1000/1,03⁹)

Podemos notar que, mais uma vez, temos a soma de n = 4 termos de uma PG de razão q= (1/1,03)³ = 0.915 e valor inicial a₁ = 1000.

A soma de PG é dada por:

S = ((qⁿ-1) * a1)/(q-1)

Substituindo os valores, temos:

S = 3519.04

Ou seja, R$ 3519.04 é o valor da bicicleta para compra à vista