Medidas de Posição e Medidas de Dispersão
1) Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6 de seus alunos da 5ª série em relação as suas notas que são as seguintes: Notas: 7,0 3,5 2,5 6,5 9,0 3,5
Calcule:
a) média (0,1)
b) mediana (0,1)
c) moda (0,1)
Solução:
Por definição, a média corresponde à somatória de todas as notas dividida pelo número total de notas. Assim:
M = (7,0+ 3,5+ 2,5+ 6,5+9,0+ 3,5)/6 = 32/6 = 5,3... (dízima periódica)
Em estatística, a mediana é uma medida da tendência central, ou seja, é um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número (a mediana) de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Mais concretamente, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana. No caso de dados ordenados de amostras de tamanho n, se n for ímpar, a mediana será o elemento central. Se n for par, a mediana será o resultado da média simples entre os dois elementos centrais.
Verificamos que nossa amostra é composta por um número par de elementos (6). Vamos a seguir colocar as notas em ordem crescente:
{ 2,5; 3,5; 3,5; 6,5; 7,0; 9,0}
Para calcular a mediana devemos obter a média entre o 3º e o 4º elementos na série ordenada das notas, isto é:
Mediana = (3,5+6,5)/2 = 5,0
Em estatística, a moda é o valor que detém o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais freqüentes. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez que a média e a mediana podem não ser bem definidas. Por exemplo, a moda de {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} é laranja. No nosso caso, a nota 3,5 tem freqüência 2, enquanto as demais notas têm freqüência igual a 1. Assim, a moda em nosso problema é 3,5.
Moda = 3,5
2) Classifique as séries de acordo com a característica modal, indicando os valores da moda. Assinale a letra que corresponde à resposta correta: (0,2)
Série 1 - 12, 13, 13, 14, 15, 17, 17, 19
Série 2 - 56, 58, 60, 60, 60, 62, 65
Série 3 - 47, 45, 90, 90, 47, 45, 41
a) Série 1 - Bimodal, Moda = 13 e 17; Série 2 - Unimodal, Moda = 60; Série 3 – Trimodal, Moda = 47, 45 e 90
b) Série 1 - Bimodal, Moda = 13 e 17; Série 2 - Unimodal, Moda = 60; Série 3 – Amodal, Moda = 47, 45, 90 e 41
c) Série 1 - Bimodal, Moda = 12 e 14; Série 2 - Unimodal, Moda = 60; Série 3 – Bimodal, Moda = 47, 45, 90 e 41
d) Série 1 - Bimodal, Moda = 13 e 17; Série 2 - Amodal, Moda = 62; Série 3 – Bimodal, Moda = 47, 45 e 90
Solução: alternativa a.
Como discutimos acima, a moda não é necessariamente única. Moda é o valor que detém o maior número de observações, quando apenas um valor prepondera, dizemos que a série é unimodal. Quando dois valores têm a mesma freqüência, e esta é maior que a de todos os demais elementos, dizemos que a série é bimodal. Nos casos em que nenhum valor é mais freqüente que os demais, dizemos que a série é amodal.
Assim, a série 1 apresenta duas vezes o elemento 13 e também duas vezes o elemento 17. Como os demais elementos aparecem apenas uma vez, a série 1 é bimodal e suas modas são 13 e 17.
Na série 2, o elemento 60 aparece 3 vezes, sendo o único elemento que aparece mais de uma vez. Assim, a série 2 é unimodal e sua moda é 60.
Finalmente, a série 3 é trimodal sendo que os elementos 47, 45 e 90 são as modas.
3) Marque a afirmativa correta: (0,1)
a) O primeiro quartil (Q1) é o valor situado de modo tal que metade dos dados são menores do que ele, e o restante é maior.
b) O segundo quartil é evidentemente igual a moda.
c) Os quartis dividem o conjunto de valores em, como o nome já diz, quatro subconjuntos de mesmo número de elementos.
d) O terceiro quartil (Q3) é o valor situado de modo tal que um quarto (25%) dos dados são menores que ele, e o restante (75%) é maior que ele.
Solução: alternativa c.
Um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população.
Assim, no caso de uma amostra ordenada,
• primeiro quartil (Q1/4) ou quartil inferior é o valor aos 25% da amostra ordenada.
• segundo quartil (Q2/4) é o valor até ao qual se encontra 50% da amostra ordenada.
• terceiro quartil (Q3/4) ou quartil superior é valor a partir do qual se encontram 25% dos valores mais elevados.
4) Numere as afirmativas a seguir de acordo com o número correspondente. Assinale a resposta correta: (0,1)
(1) Amplitude Total
(2) Variância
(3) Desvio Padrão
(4) Coeficiente de Variação
(5) Medidas de Dispersão
( 5 ) Indicam se os dados estão, ou não, próximos uns dos outros.
( 1) É uma medida de dispersão que não leva em consideração os valores intermediários, não dando nenhuma informação de como os dados estão distribuídos (ou concentrados).
( 3 ) É simplesmente a raiz quadrada da variância.
( 2 ) É uma medida baseada nos desvios em torno da média aritmética.
( 4 ) É uma grandeza adimensional (sem unidades) e ponderada pelo seu valor médio.
a) 1 - 4 - 3 - 5 - 2
b) 1 - 5 - 3 - 2 - 4
c) 5 - 1 - 3 - 2 - 4
d) 5 - 1 - 3 - 4 - 2
Solução: alternativa c.
As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os valores de um conjunto de dados estão próximos entre si.
A variância é definida como:
O desvio padrão, s, é igual a raiz quadrada da variância.
O coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de variabilidade. É independente da unidade de medida utilizada.
CV= 100.s/média (%)
5) Para os dados de peso de 2 grupos de alunos, calcule a média e o desvio padrão, assinalando a resposta correta: (0,3)
Grupo 1: 65 57 89 65 50 72 81 e o Grupo 2: 80 78 67 56 90 101 66
a) Grupo 1: Média= 68,4kg, Desvio Padrão= 13,5kg
Grupo 2: Média= 76,9kg, Desvio Padrão= 15,4kg
b) Grupo 1: Média= 68,4kg, Desvio Padrão= 15,4kg
Grupo 2: Média= 76,9kg, Desvio Padrão= 13,5kg
c) Grupo 1: Média= 76,9kg, Desvio Padrão= 15,4kg
Grupo 2: Média= 68,4kg, Desvio Padrão= 13,5kg
d) Grupo 1: Média= 13,5kg, Desvio Padrão= 68,4kg
Grupo 2: Média= 15,4kg, Desvio Padrão= 76,9kg
Solução: alternativa a.
Veja abaixo um extrato da planilha criada para o cálculo das grandezas pedidas.
Note que:
Para a série 1, a média é 68,4kg e o desvio padrão 13,5kg.
Para a série 2, a média é 76,85kg e o desvio padrão 15,37kg.
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