a) o valor de cada prestação mensal;
b) o valor da amortização referente ao 19 º mês.
Solução:
a) No sistema francês, as parcelas são fixas. Cada uma das parcelas (P) deve ser atualizada para a data 0 (data da tomada do empréstimo) e a soma de seus valores atualizados deve igualar o valor financiado (V). Assim, a 1ª parcela, de valor P, deve ser atualizada em um mês, a 2ª parcela em 2 meses e assim sucessivamente até a 30ª parcela que é atualizada em 30 meses. Matematicamente,
P/(1+i) + P/(1+i)2+...+ P/(1+i)m=V
Em nosso caso, a taxa de juros é igual a i=0,028; o valor financiado é V=900000 e m=30 é o número total de parcelas. Podemos resolver o problema usando o fato que o lado esquerdo da equação acima é a soma dos 30 primeiros termos de uma progressão geométrica (PG) cujo termo inicial é P/(1+i) e a razão é 1/(1+i). A soma dos primeiros m termos de uma PG de razão q e termo inicial a1 vale:
Sm=N/D, onde N = a1. (qm -1) e D = q-1
Aplicando a relação acima temos:
N = ( P/(1+i) ) * ( (1/(1+i)m-1) = ( P/(1,028) ) * ( (1/(1,028)m-1) =
N = P * (-0,54793434010889198331150695408722)
D = (1/(1+i)) -1 = (1/1,028) -1= -0,027237354085603112840466926070039
Logo, Sm=P * 20,117017915426462815865326742917
Como esta soma deve ser igual ao valor financiado V, temos:
P = V/20,117017915426462815865326742917=
P = 900000/20,117017915426462815865326742917= 44738,241213666523877286986111569
Arredondando até a casa dos centavos, temos:
P = R$ 44738,24
Alternativamente podemos usar a fórmula:
P = V/ FVP( i ; m), onde V é o valor financiado e FVP ( i ; m) = (1- (1+i)-m) / i
Substituindo os valores de i=0,028; m=30 e V= 900000, temos:
P = V/ FVP(2,8 ; 30)
Logo,
FVP(2,8;30) = (0.56327650163194095884422914880167) / 0,028
FVP(2,8;30) = 20.117017915426462815865326742917
Finalmente P = 44738,241213666523877286986111569. Arredondando até a casa dos centavos, temos que cada parcela será de R$ 44738,24.
b)
Para a solução do item b, construímos uma planilha com as informações do saldo devedor a cada período, o valor amortizado, os juros pagos e a prestação. Para tanto, devemos lembrar que cada parcela paga pode ser dividida em duas partes. Uma delas é juros e a outra a amortização. Neste caso, as parcelas são fixas, P = R$ 44738,24. Os juros são calculados pelo produto da taxa de juros pelo valor do saldo devedor. Logo, à medida que o saldo devedor diminui, também diminuem os juros pagos mensalmente. Finalmente, a amortização cresce na exata medida do decréscimo dos juros. No tempo zero (na tomada do empréstimo) há um saldo devedor de R$900000,00 e nenhuma prestação foi paga ainda. Com o pagamento da 1ª parcela, o valor de R$25200,00 (R$900000,00 * 0,028)
corresponde aos juros enquanto o restante R$ 19538,24 (R$44738,24 - R$25200,00) é a amortização da dívida. Este valor deve ser abatido do saldo devedor original para se determinar o saldo devedor atualizado e, a partir desse, calcular os juros do próximo período. Este procedimento é repetido tantas vezes quantas sejam necessárias até que uma tabela como a apresentada a seguir seja construída.
A tabela não está completa, pois não foi calculada até a última prestação (só vai até a 20ª parcela). Eu fiz esta tabela usando uma planilha eletrônica, deixei um excesso de casas depois da vírgula propositalmente para diminuir os erros de arredondamento. É claro que na vida real, os pagamentos devem ser efetuados até os centavos e na última parcela é feito um pequeno ajuste.
A amortização pedida após o pagamento da 19ª parcela está marcada na tabela e seu valor é: R$32118,96.
Quando não é possível construir a planilha, podemos obter a amortização na k-ésima parcela através da relação:
Ak = A1 * (1+i)k-1
Então: A19 = 19538,24 * (1+0,028)18 = 19538,24 * 1,6439025300629980714629824362033
A19=32118,962168978071439780901954325
Ou R$ 32118,96
Sem comentários:
Enviar um comentário