sexta-feira, 1 de abril de 2011

Estatística para Administradores - Tarefa 3

Medidas de Posição e Medidas de Dispersão


1) Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6 de seus alunos da 5ª série em relação as suas notas que são as seguintes: Notas: 7,0   3,5   2,5   6,5   9,0   3,5

Calcule:

a) média (0,1)

b) mediana (0,1)

c) moda (0,1)



Solução:



Por definição, a média corresponde à somatória de todas as notas dividida pelo número total de notas. Assim:



M = (7,0+ 3,5+ 2,5+ 6,5+9,0+ 3,5)/6 = 32/6 = 5,3... (dízima periódica)


Em estatística, a mediana é uma medida da tendência central, ou seja, é um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número (a mediana) de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Mais concretamente, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana. No caso de dados ordenados de amostras de tamanho n, se n for ímpar, a mediana será o elemento central. Se n for par, a mediana será o resultado da média simples entre os dois elementos centrais.


Verificamos que nossa amostra é composta por um número par de elementos (6). Vamos a seguir colocar as notas em ordem crescente:

{ 2,5; 3,5; 3,5; 6,5; 7,0; 9,0}

Para calcular a mediana devemos obter a média entre o 3º e o 4º elementos na série ordenada das notas, isto é:

Mediana = (3,5+6,5)/2 = 5,0



Em estatística, a moda é o valor que detém o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais freqüentes. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez que a média e a mediana podem não ser bem definidas. Por exemplo, a moda de {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} é laranja. No nosso caso, a nota 3,5 tem freqüência 2, enquanto as demais notas têm freqüência igual a 1. Assim, a moda em nosso problema é 3,5.

Moda = 3,5

2) Classifique as séries de acordo com a característica modal, indicando os valores da moda. Assinale a letra que corresponde à resposta correta: (0,2)


Série 1 - 12, 13, 13, 14, 15, 17, 17, 19

Série 2 - 56, 58, 60, 60, 60, 62, 65

Série 3 - 47, 45, 90, 90, 47, 45, 41

a) Série 1 - Bimodal, Moda = 13 e 17; Série 2 - Unimodal, Moda = 60; Série 3 – Trimodal, Moda = 47, 45 e 90

b) Série 1 - Bimodal, Moda = 13 e 17; Série 2 - Unimodal, Moda = 60; Série 3 – Amodal, Moda = 47, 45, 90 e 41

c) Série 1 - Bimodal, Moda = 12 e 14; Série 2 - Unimodal, Moda = 60; Série 3 – Bimodal, Moda = 47, 45, 90 e 41

d) Série 1 - Bimodal, Moda = 13 e 17; Série 2 - Amodal, Moda = 62; Série 3 – Bimodal, Moda = 47, 45 e 90



Solução: alternativa a.

Como discutimos acima, a moda não é necessariamente única. Moda é o valor que detém o maior número de observações, quando apenas um valor prepondera, dizemos que a série é unimodal. Quando dois valores têm a mesma freqüência, e esta é maior que a de todos os demais elementos, dizemos que a série é bimodal. Nos casos em que nenhum valor é mais freqüente que os demais, dizemos que a série é amodal.

Assim, a série 1 apresenta duas vezes o elemento 13 e também duas vezes o elemento 17. Como os demais elementos aparecem apenas uma vez, a série 1 é bimodal e suas modas são 13 e 17.

Na série 2, o elemento 60 aparece 3 vezes, sendo o único elemento que aparece mais de uma vez. Assim, a série 2 é unimodal e sua moda é 60.

Finalmente, a série 3 é trimodal sendo que os elementos 47, 45 e 90 são as modas.





3) Marque a afirmativa correta: (0,1)

a) O primeiro quartil (Q1) é o valor situado de modo tal que metade dos dados são menores do que ele, e o restante é maior.

b) O segundo quartil é evidentemente igual a moda.

c) Os quartis dividem o conjunto de valores em, como o nome já diz, quatro subconjuntos de mesmo número de elementos.

d) O terceiro quartil (Q3) é o valor situado de modo tal que um quarto (25%) dos dados são menores que ele, e o restante (75%) é maior que ele.

Solução: alternativa c.


Um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população.

Assim, no caso de uma amostra ordenada,

• primeiro quartil (Q1/4) ou quartil inferior é o valor aos 25% da amostra ordenada.

• segundo quartil (Q2/4) é o valor até ao qual se encontra 50% da amostra ordenada.

• terceiro quartil (Q3/4) ou quartil superior é valor a partir do qual se encontram 25% dos valores mais elevados.



4) Numere as afirmativas a seguir de acordo com o número correspondente. Assinale a resposta correta: (0,1)

(1) Amplitude Total

(2) Variância

(3) Desvio Padrão

(4) Coeficiente de Variação

(5) Medidas de Dispersão



( 5 ) Indicam se os dados estão, ou não, próximos uns dos outros.

( 1) É uma medida de dispersão que não leva em consideração os valores intermediários, não dando nenhuma informação de como os dados estão distribuídos (ou concentrados).

( 3 ) É simplesmente a raiz quadrada da variância.

( 2 ) É uma medida baseada nos desvios em torno da média aritmética.

( 4 ) É uma grandeza adimensional (sem unidades) e ponderada pelo seu valor médio.



a) 1 - 4 - 3 - 5 - 2

b) 1 - 5 - 3 - 2 - 4

c) 5 - 1 - 3 - 2 - 4

d) 5 - 1 - 3 - 4 - 2

Solução: alternativa c.


As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os valores de um conjunto de dados estão próximos entre si.

A variância é definida como:





O desvio padrão, s, é igual a raiz quadrada da variância.



O coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de variabilidade. É independente da unidade de medida utilizada.

CV= 100.s/média (%)



5) Para os dados de peso de 2 grupos de alunos, calcule a média e o desvio padrão, assinalando a resposta correta: (0,3)

Grupo 1: 65 57 89 65 50 72 81 e o Grupo 2: 80 78 67 56 90 101 66

a) Grupo 1: Média= 68,4kg, Desvio Padrão= 13,5kg

Grupo 2: Média= 76,9kg, Desvio Padrão= 15,4kg

b) Grupo 1: Média= 68,4kg, Desvio Padrão= 15,4kg

Grupo 2: Média= 76,9kg, Desvio Padrão= 13,5kg

c) Grupo 1: Média= 76,9kg, Desvio Padrão= 15,4kg

Grupo 2: Média= 68,4kg, Desvio Padrão= 13,5kg

d) Grupo 1: Média= 13,5kg, Desvio Padrão= 68,4kg

Grupo 2: Média= 15,4kg, Desvio Padrão= 76,9kg



Solução: alternativa a.

Veja abaixo um extrato da planilha criada para o cálculo das grandezas pedidas.

Note que:

Para a série 1, a média é 68,4kg e o desvio padrão 13,5kg.

Para a série 2, a média é 76,85kg e o desvio padrão 15,37kg.

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